Γεννήθηκε το 1937. Σπούδασε αρχαιολογία-ιστορία στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και έκανε μεταπτυχιακές σπουδές στο Freiburg. Το 1965 διορίστηκε, έπειτα από διαγωνισμό, στην Αρχαιολογική Υπηρεσία, από την οποία παραιτήθηκε το 1969. Από το 1969 έως το 1972 συνέχισε τις σπουδές αρχαιολογίας στο Tübingen με υποτροφία Alexander von Humboldt, το 1972 έλαβε το δίπλωμα του διδάκτορος με βαθμό Magna cum laude και το διάστημα 1972-1973 έκανε μεταδιδακτορικές σπουδές στο Παρίσι, τη Σορβόνη και την École Pratique des Hautes Études.
Ως μέλος της Αρχαιολογικής Υπηρεσίας υπηρέτησε στην Κεντρική Υπηρεσία, στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο, στην Εφορεία Αρχαιοτήτων Αττικής, στην Πάτρα και τη Σπάρτη. Το 1973 έγινε διευθυντής του Μουσείου Μπενάκη, από το οποίο αποχώρησε το 2014. Το 1992 εξελέγη καθηγητής Ιστορίας της Τέχνης στο Τμήμα Θεατρικών Σπουδών του Πανεπιστημίου Αθηνών και από το 1998 έως το 2003 διετέλεσε διευθυντής προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών στο ίδιο Τμήμα. Το 2005 αποχώρησε από το Πανεπιστήμιο ως ομότιμος.
Μεταξύ άλλων, ανέλαβε την έρευνα του Ιερού του Αμυκλαίου Απόλλωνος κοντά στη Σπάρτη, που μελετά συστηματικά εδώ και χρόνια, ενώ τα αποτελέσματα της έρευνας δημοσιεύει σε επιστημονικά περιοδικά. Το ιερό, που βρίσκεται στην αριστερή όχθη του Ευρώτα, κοντά στη Σπάρτη, πρώτος έσκαψε, το 1890, ο Χρήστος Τσούντας, διαπρεπές μέλος της Ακαδημίας και ακολούθησαν άλλοι. Η νέα έρευνα έφερε στο φως μέλη του περίφημου θρόνου του Απόλλωνος, που επέτρεψαν μία ακριβέστερη αναπαράσταση του μνημείου. Ακόμη, μελετήθηκαν το μυθολογικό, το επιγραφικό μέρος της παλαιάς και νέας ανασκαφής, η κεραμική, τα νομίσματα και διαφωτίστηκε η ιστορία του ιερού από τα αρχαιότατα χρόνια έως την περίοδο της ρωμαιοκρατίας.
Εντρύφησε, επίσης, στην τέχνη του Σκόπα, με την εξέταση των γλυπτών της Τεγέας και τη δημοσίευση, μεταξύ άλλων, της μελέτης στα γαλλικά, «Σκοπαδικά ΙΙ, Το άγαλμα της Υγιείας στον ναό της Αλέας στην Τεγέα», όπου κορμό γυναικείου αγάλματος άγνωστης ακριβούς προέλευσης ταυτίζει με το σώμα της φημισμένης κεφαλής της Υγίειας και το έργο σε γνήσιο του μεγάλου Σκόπα.
Βασικό για τη μελέτη των τύπων της Αφροδίτης είναι και το 150 σελίδων κείμενό του, Aphrodite στο Lexicon Iconographicum Mythologiae Classicae, το οποίο αποτελεί τη βάση κάθε μελέτης και σπουδής για τα έργα που εικονίζουν τη θεά, ενώ εξέχουσα θέση στα έργα του που αφορούν τη μεγάλη αρχαία γλυπτική, έχει το εξαιρετικά μεθοδικό και διαφωτιστικό βιβλίο «Η ζωφόρος του Παρθενώνος».
Το μουσειολογικό έργο του Άγγελου Δεληβορριά δεν περιορίζεται στο Μουσείο Μπενάκη, το οποίο έχει οργανώσει ή έχει συμμετάσχει, από το 1974 έως το 2014, σε 130 εκθέσεις στην Ελλάδα και σε 39 εκθέσεις σε μεγάλες πόλεις του εξωτερικού, που αποτέλεσαν καλλιτεχνικά γεγονότα.
Τέλος, δημιούργημά του είναι το Μουσείο Ισλαμικής Τέχνης, όπως και το έξοχο ως σύλληψη και πραγματοποίηση Μουσείο Νίκου Χατζηκυριάκου Γκίκα, που δεν αφορούν την αρχαία τέχνη, αλλά δείχνουν την οικειότητα του νέου ακαδημαϊκού με την πνευματική δημιουργία άλλων εποχών της ιστορίας μας.
